Sommerschule Mathematik

Sommerschule „Lust auf Mathematik“ 2017 in Blossin

 

Die 17. Sommerschule „Lust auf Mathematik“ fand vom 25.07. bis 30.07.2017 traditionell im Jugendbildungszentrum Blossin e.V. statt.

Sie wurde von Frau Dr. Luise Fehlinger vom Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin vorbereitet und organisiert. An der Sommerschule nahmen diesmal insgesamt 46 Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II - davon 16 von unserer Schule - , fünf Studierende sowie fünf Lehrerinnen und Lehrer teil.

Die Schülerinnen und Schüler besuchen eine der Schulen des Berliner Netzwerks mathematisch-naturwissenschaftlich profilierter Schulen:

Andreas-Gymnasium (Berlin-Friedrichshain),
Immanuel-Kant-Gymnasium (Berlin-Lichtenberg),
Heinrich-Hertz-Gymnasium (Berlin-Friedrichshain),
Herder-Gymnasium (Berlin-Charlottenburg),
Käthe-Kollwitz-Gymnasium (Berlin-Pankow).

In fünf Arbeitsgruppen wurden die Schüler/innen von Wissenschaftler/innen, und Studierenden der Humboldt-Universität zu Berlin (Institut für Mathematik) bzw. der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe betreut.

Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler boten insgesamt fünf anspruchsvolle Themen an, die in kleinen Gruppen mit den Schülerinnen und Schülern bearbeitet wurden. Die Themen knüpften wie in den vergangenen Jahren an den Schulstoff der Sekundarstufe II an und führten in Elemente der modernen Mathematik und ihre Anwendungen ein.

Eindrücke und Impressionen von der Sommerschule findet man hier.

 

Arbeitsthemen der einzelnen Gruppen:

 

Mathematisches Papierfalten (Leiterin: Dr. Luise Fehlinger, HU Berlin)

Origami (Papierfalten) ist eine Jahrtausende alte Kunst. Es ist jedoch noch gar nicht so lange her, dass sich Wissenschaftler begannen für Origami zu interessieren. In den 1970’er Jahren erfand Koryo Miura eine Falttechnik, die es erlaubt beispielsweise einen großen Spiegel zusammengefaltet mit einer Rakete ins Weltall zu schicken und dort zu entfalten. Diese Technik wurde nun weiterentwickelt, um nicht nur flache sondern auch gekrümmte Objekte zu falten. Dies hat nicht nur Anwendungen im makroskopischen Bereich wie der Architektur sondern auch im mikroskopischen Bereich wie zum Beispiel der Chirurgie.

Die Gruppe beschäftigte sich mit dem mathematischen Aspekt des Papierfaltens und untersuchte z. B. folgende Fragestellungen:

• Wann lassen sich Faltungen flach zusammendrücken? Wie sieht das bei einzelnen „Knoten“ in einem Falzmuster aus? Wie bei mehreren „Knoten“?
• Was ist eigentlich alles mit Papierfalten möglich? Sind nicht Konstruktionen mit Zirkel und Lineal viel besser? Beim Papierfalten können wir schließlich keine Kreise „falten“. (Man kann durch das Falten von Papier Probleme lösen, die wir mit Zirkel und Lineal nicht lösen können – z. B. die Dreiteilung eines beliebigen Winkels oder die Verdoppelung eines Würfels.)
• Gibt es auch umgekehrt Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, die nicht durch „Papierfalten“ erreicht werden können?

Skalarprodukträume (Leiter: Prof. Dr. Konrad Gröger, HU Berlin)

Die Menge C([0, 1]) aller auf dem Intervall [0, 1] definierten stetigen reellwertigen Funktionen wird zu einem Beispiel für einen Skalarproduktraum, wenn man für zwei Funktionen u, v ∈ C([0, 1]) die Zahl u∙v als Skalarprodukt von u und v deklariert. Man sagt, u und v seien zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Beispielsweise sind für die Funktionen u(x) und v(x) zueinander orthogonal, wenn man für \( \langle u,v \rangle = \int_{0}^{1} u(x)v(x) dx\)  setzt. Das Skalarprodukt gestattet die Übertragung einer Rede- und Denkweise, die aus der Geometrie des dreidimensionalen Raums bekannt ist, auf die Elemente von C([0, 1]).

Die Arbeit der Gruppe umfasste folgende Schwerpunkte:

• Skalarprodukte und Skalarprodukt-Räume, Beispiele,
• Abstand zweier Objekte und Winkel zwischen zwei Objekten eines Skalarprodukt-Raumes,
• Begriff der orthogonalen Projektion und seine Bedeutung für Approximationsfragen,
• Beantwortung der Frage: Wie kann man eine gegebene Funktion u ∈ C([0, 1]) bestmöglich durch eine Überlagerung von Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden approximieren?

Es wurde ein Computerprogramm erarbeitet, mit dessen Hilfe die erwähnte Approximation an ausgewählten Funktionen u veranschaulicht werden kann.

Wir steuern einen Mini-Roboter! (Leiterin: Prof. Dr. Caren Tischendorf, HU Berlin)

Die Gruppe ging der Frage nach:

Ist der kürzeste Weg für einen Roboter zum Ziel um ein paar vorgegebene Hindernisse herum auch immer der schnellste Weg zum Ziel? Die Gruppenmitglieder lernten eine Methode kennen, mit deren Hilfe man schnelle Wege zum Ziel finden kann. Es ist die Methode der Interpolation. Diese ermöglicht es, geeignete (Weg-)Funktionen zu ermitteln, die durch gegebene Punkte im Raum verlaufen (abhängig von der Lage der Hindernisse). Die Schülerinnen und Schüler untersuchten verschiedene Arten von Interpolation, lernten Wege zur Berechnung solcher Funktionen kennen und programmierten die entwickelten Algorithmen. Am Ende testeten sie an einem Mini-Roboter, welche Wege am schnellsten zum Ziel führen.

Wie lange dauert es (im Mittel), bis . . . ? (Leiterin: Dr. Elke Warmuth, HU Berlin)

Im Mittelpunkt der Gruppenarbeit standen Probleme aus der Stochastik folgender Art:

Beim Mensch-Ärgere-Dich-nicht-Spiel warten wir auf die erste Sechs, beim Bingo auf zwei volle Reihen... Sammler warten auf die vollständige Serie, Roulettespieler sind von Serien mit nur ROT oder nur SCHWARZ irritiert... Das bekannte Geburtstagsparadoxon ist eine Variante des Wartens auf die erste Kollision. Allen diesen Problemen ist gemeinsam, dass der Zufall eine Rolle spielt und stochastische Modelle erforderlich sind, um Aussagen über Wahrscheinlichkeiten oder Erwartungswerte von Wartezeiten zu gewinnen. Bei einigen Modellen führte erst das Zusammenspiel von Kombinatorik und Analysis (Grenzwerte von Reihen) zu einer Lösung. Dabei musste die eine oder andere Intuition überprüft und korrigiert werden. Die Probleme waren alle mit diskreten Modellen zu bewältigen.

Polygonalzahlen und Figurierte Zahlen (Leiter: Prof. Dr. Jochen Ziegenbalg, PH Karlsruhe)

Die Methode der figurierten Zahlen (Zahlenmuster erkennen und verarbeiten für Beweise) setzte, auf der Mathematik der Babylonier basierend, in systematischer Form etwa mit Pythagoras von Samos um ca. 600-500 v. Chr. ein. Der Neupythagoreer Nikomachos von Gerasa, ca. 60-120 n.Chr., beschäftigte sich intensiv mit Dreiecks-, Vierecks- und Fünfeckszahlen. Geschicktes Legen von Zahlenmustern, oft auf der Basis der Verwendung von Winkelhaken („Gnomonen“), lieferte in unmittelbarer Weise erste nichttriviale Erkenntnisse über Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Pentagonalzahlen, u.s.w.

Auch große Mathematiker arbeiteten gelegentlich mit der Technik der figurierten Zahlen oder vergleichbaren Methoden. Von C.F. Gauss wird der Legende nach berichtet, dass er als junger Schüler die Aufgabe seines Lehrers, die Zahlen von1 bis 100 zu addieren, löste, indem er die Zahlenreihen 1, 2, 3, . . . , 100 zweimal aufschrieb; einmal in der natürlichen und einmal in der umgekehrten Reihenfolge. Er erkannte, dass alle dadurch gegebenen 100 „Spaltensummen“ gleich 101 waren und ermittelte so in kürzester Zeit das Ergebnis.

Wenn sich heute auch all diese Ergebnisse formal auf der Basis der vollständigen Induktion beweisen lassen, so liefert die Technik des Arbeitens mit figurierten Zahlen in der Regel den Ausgangspunkt für den heuristischen Prozess, der zu den entsprechenden Hypothesenbildungen führt. Oft sind auch die „Beweise“ durch die Methode der figurierten Zahlen so unmittelbar klar und einleuchtend, dass sich ein formaler Induktionsbeweis erübrigt.

Einige dieser Zahlenmuster wurden in der Gruppe genutzt, um zu interessanten arithmetischen Ergebnissen zu gelangen.

 

Wie in den vorangehenden Jahren präsentierte jede Gruppe in einem halbstündigen Vortrag vor dem Plenum allen Teilnehmerinnen und Teilnehmer ihre Arbeitsergebnisse. In der nachfolgenden Abstimmung wurde die Präsentation der Gruppe „Skalarprodukträume“ als beste gekürt.

Die schriftlichen Berichte, die während der Sommerschule entstanden, wurden – wie in jedem Jahr - in einem Band zusammengefasst. Bemerkenswert ist, dass diese Berichte alle in LaTeX geschrieben wurden, einem Textverarbeitungssystem, das den meisten Schülerinnen und Schülern vorher nicht bekannt war.

Am Dienstagabend hielt Dr. Olaf Müller (HU Berlin) einen Vortrag zum Thema „Kartographie“. Dabei wurden verschiedene kartographische Projektionen und ihre Eigenschaften vorgestellt

Die Sommerschule wurde gefördert vom ECMath, vom Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin, von Prof. Dr. Helga Baum, Prof. Dr. Dorothee Schüth und Prof. Dr. Andreas Filler von der Humboldt-Universität zu Berlin.

Dr. Matthias Nicol, Leiter des Fachbereiches Mathematik

 

Sommerschule „Lust auf Mathematik“ 2016 in Blossin

Die 16. Sommerschule „Lust auf Mathematik“ fand vom 03.07. bis 08.07.2016 wieder im Jugendbildungszentrum Blossin e.V. statt.

Sie wurde von Prof. Dr. J. Kramer und Dr. L. Fehlinger vom Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin vorbereitet und organisiert. An der Sommerschule nahmen diesmal 48 Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II, sechs Studierende sowie fünf Lehrerinnen und Lehrer teil.

Die Schülerinnen und Schüler besuchten zu jener Zeit eine der Schulen des Berliner Netzwerks mathematisch-naturwissenschaftlich profilierter Schulen:

Andreas-Gymnasium (Berlin-Friedrichshain),
Immanuel-Kant-Gymnasium (Berlin-Lichtenberg),
Heinrich-Hertz-Gymnasium (Berlin-Friedrichshain),
Herder-Gymnasium (Berlin-Charlottenburg),
Käthe-Kollwitz-Gymnasium (Berlin-Pankow).

Die sechs Gruppen wurden von Wissenschaftlerinnen, Wissenschaftlern und Studierenden der Humboldt-Universität zu Berlin (Institut für Mathematik) betreut. Eine Gruppenleiterin ist Mitglied des Forschungszentrums Matheon „Mathematik für Schlüsseltechnologien“.

Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler boten insgesamt wieder sechs anspruchsvolle Themen an, die in kleinen Gruppen mit den Schülerinnen und Schülern bearbeitet wurden. Die Themen führten in Elemente der modernen Mathematik und ihre Anwendungen ein.

Arbeitsthemen der einzelnen Gruppen:

Möbius-Transformationen und Indras Perlen (Leiter: Prof. Dr. Andreas Filler)

• Komplexe Zahlen
• Die Gruppe der Möbius-Transformationen, Eigenschaften
• Fixpunkte von Möbius-Transformationen
• Schottky-Gruppen
• Indras Perlen und Ketten

Paradoxe Teilmengen der Ebene (Leiter: Prof. Dr. Konrad Gröger)

• Kongruenzabbildungen in der komplexen Zahlenebene
• Kongruenz zu echten Teilmengen
• Hauptsatz (Satz von Sierpinski und Mazurkiewicz aus dem Jahr 1914)
• Zerlegungsvarianten und alternative Konstruktionen

Zykloiden und das Tautochronenproblem (Leiterin: Dr. Luise Fehlinger)

• Das mathematische Pendel
• Kurven mit vektorieller Beschreibung, Eigenschaften
• Parametertransformationen
• Bogenlänge von Kurven
• Zykloiden, die Tautochroneneigenschaft der Zykloiden

Wie können wir hohe Dimensionen fühlen? (Leiterin: Dr. Maryana Viazovski)

• Euklidischer Raum
• Untergruppen und Gitter
• Polytope, Platonische Körper
• Reguläre Polytope in dim 4
• Schlegel-Diagramm

Trifft uns der Komet? (Leiter: Dr. René Lamour)

• Einfaches Iterationsverfahren
• Bisektionsverfahren
• Newton-Verfahren
• Mehrdimensionales Newton-Verfahren
• Lösung des Schnittproblems

Markov-Ketten: Simulation von Gaspartikeln im Raum (Leiter: Thomas Grell, Stefan Korntreff)

• Grundlagen zu Markov-Ketten
• Übergangswahrscheinlichkeit und Übergangsmatrix
• Langzeitverhalten zeithomogener, irreduzibler und aperiodischer Markov-Ketten
• Algorithmus zur Beschreibung obiger Markov-Ketten

Einer langjährigen Tradition folgend, präsentierte jede Gruppe in einem halbstündigen Vortrag vor dem Plenum allen Teilnehmerinnen und Teilnehmer ihre Arbeitsergebnisse. In der nachfolgenden Abstimmung wurde die Präsentation der Gruppe „ Zykloiden und das Tautochronenproblem“ als beste gekürt, gefolgt von den Gruppen „Paradoxe Teilmengen der Ebene“ und „Markov-Ketten: Simulation von Gaspartikeln im Raum“.

Die schriftlichen Berichte, die während der Sommerschule entstanden, wurden – wie in jedem Jahr - in einem Band zusammengefasst. Bemerkenswert ist, dass diese Berichte alle in LaTeX geschrieben wurden, einem Textverarbeitungssystem, das den meisten Schülerinnen und Schülern vorher nicht bekannt war.

Am Montagabend zeigte Frau Ekaterina Eremenko ihren Film „ Colors of Math“.

Die Sommerschule wurde maßgeblich durch Spenden des ECMath und des Instituts für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin gefördert. Viele Schülerinnen und Schüler unterstützten zusätzlich zum kleinen Eigenbeitrag die Sommerschule durch großzügige Spenden.

Dr. Matthias Nicol, Leiter des Fachbereiches Mathematik

 

Die Sommerschule „Lust auf Mathematik“ 2015 in Blossin

 

Die 15. Sommerschule „Lust auf Mathematik“ fand wie jedes Jahr vom 5. Juli bis 10. Juli 2015 im Jugendbildungszentrum Blossin e.V. statt.

Sie wurde diesmal von Prof. Dr. Jürg Kramer und Dr. Luise Fehlinger vom Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin vorbereitet und betreut.

An der Sommerschule nahmen 35 Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II, ein Praktikant sowie fünf Lehrerinnen und Lehrer teil. Die Schülerinnen und Schüler besuchen eine der Schulen des Berliner Netzwerks mathematisch-naturwissenschaftlich profilierter Schulen. Von unserer Schule beteiligten sich diesmal 11 Schülerinnen und Schüler.

Die sechs Gruppen wurden von Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern der Humboldt-Universität zu Berlin (Institut für Mathematik), der Technischen Universität Berlin (Institut für Mathematik) und der Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes (Fakultät für Ingenieurwissenschaften) betreut. Ein Gruppenleiter ist Mitglied des DFG-Forschungszentrums Matheon Mathematik für Schlüsseltechnologien.

Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler bereiteten 6 sehr anspruchsvolle Themen vor. Die Themen knüpften an den Schulstoff der Sekundarstufe II an und führten in Elemente der modernen Mathematik und ihre Anwendungen ein.

Die Arbeitsthemen der einzelnen Gruppen waren:

• Die isoperimetrische Ungleichung und das isoperimetrische Problem
• Parkettierungen
• Reellwertige Funktionen mehrerer Variabler
• Der Weierstraßsche Approximationssatz
• Abzählungen von Mustern – Der Satz von Pólya
• Kuriositäten der Unendlichkeit – Zetafunktionen und ihre Werte

Jede Gruppe hatte knapp eine Woche Zeit für die Bearbeitung der einzelnen Themen. Dabei kam es auch auf die Teamarbeit an, denn nur so waren die sehr guten Ergebnsise zu erreichen. Jede Gruppe fertigte einen schriftlichen Bericht mit LaTeX an und musste abschließend einen halbstündigen Vortrag vor dem Plenum halten.

Dr. Matthias Nicol, Fachbereichsleiter Mathematik

 

Die Sommerschule „Lust auf Mathematik“ 2014 in Blossin

 

Die nun schon 14. Sommerschule „Lust auf Mathematik" fand vom 22.06. bis 27.06.2014 im Jugendbildungszentrum Blossin e. V. statt. Sie wurde wie in jedem Jahr von Herrn Prof. Dr. Kramer und Frau Dr. Warmuth (Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik) vorbereitet. An der Sommerschule nahmen 39 Schüler/innen - allein aus unserer Schule 12 Schüler/innen - der Sekundarstufe II sowie sechs Lehrerinnen und Lehrer teil. Die Mehrzahl der Teilnehmer kamen aus den fünf Schulen des Berliner Netzwerkes mathematisch-naturwissenschaftlich profilierter Schulen: Andreas-Gymnasium, Immanuel-Kant-Gymnasium, Heinrich-Hertz-Gymnasium, Herder-Gymnasium und Käthe-Kollwitz-Gymnasium.

Die jährliche mathematische Sommerschule ist Bestandteil des Berliner Netzwerkes mathematisch-naturwissenschaftlich profilierter Schulen und nimmt somit auch im Ausbildungsprofil unserer Schule einen festen und traditionellen Platz ein.

Fünf Schülergruppen wurden von Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern der Humboldt-Universität zu Berlin (Institut für Mathematik) betreut. Drei der Gruppenleiter sind Mitglied des DFG-Forschungszentrums MATHEON „Mathematik für Schlüsseltechnologien“.

Die Wissenschaftler/innen hatten insgesamt fünf Themen angeboten, die in kleinen Gruppen mit den Schüler/innen bearbeitet wurden. Die Themen knüpften an den Schulstoff der Sekundarstufe II an und führten in Elemente der modernen Mathematik und ihren Anwendungen ein.

Arbeitsthemen der einzelnen Gruppen:

Flächen und ihre Krümmungen

• Parametrisierung von Kurven und Flächen,
• Krümmung ebener Kurven,
• Hauptkrümmungen von Flächen,
• Gauß-Krümmung und mittlere Krümmung von Flächen

First Steps Towards Virtual Reality

• Wie Vektoren die Fotografie bestimmen,
• Fluchtpunkte - Alles nur Grenzwerte,
• Flugsimulation - Wir bringen eine Landschaft in den Computer,
• Ray Tracing - die schattige Seite der Zentralprojektion

Fraktale - Wechselspiel zwischen Chaos und Ordnung

• Was ist ein Fraktal?
• Flächen-, Volumen- und Längenbestimmung von Fraktalen,
• Dimensionen von Fraktalen,
• Zufallsfraktale

Die Quadratur des Kreises

• Mathematische Grundlagen (Fundamentalsatz der Algebra),
• Beweis der Algebraizität konstruierbarer Zahlen,
• Beweis der Transzendenz von e,
• Beweis der Transzendenz von pi

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun?

• Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung,
• Trapezregel,
• Implementierung der Trapezregel,
• Bernoulli-Polynome

Jede Gruppe präsentierte in einem halbstündigen Vortrag vor dem Plenum aller Teilnehmerinnen und Teilnehmer ihre Arbeitsergebnisse. In der nachfolgenden Abstimmung wurde die Präsentation der Gruppe „Fraktale - Wechselspiel zwischen Chaos und Ordnung“ als beste gekürt, gefolgt von den Gruppen „First Steps Towards Virtual Reality“ und „Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun?“.

Die schriftlichen Berichte, die jede Gruppe über ihre Arbeit in LaTeX anfertigte, sind ausführlich in einem Berichtsband zusammengefasst.

Am Mittwochabend hielt Frau. Dr. Lucy Weggler (Humboldt-Universität Berlin) einen Vortrag zum Thema „mp3´s sind auch nur Mathematik“. Dabei ging es um die mathematischen Grundlagen der Programmierung von mp3-Playern.

Die diesjährige Sommerschule wurde maßgeblich gefördert durch Spenden der folgenden Hochschullehrerinnen und Hochschullehrer des Instituts für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin: Helga Baum, Thomas Friedrich, Peter Imkeller, Jürg Kramer, Markus Reiß und Dorothee Schüth. Die Schülerinnen und Schüler leisteten einen kleinen eigenen Beitrag.

Als Heinrich-Hertz-Gymnasium möchten wir allen Organisatoren, Gruppenleitern und Sponsoren der Sommerschule herzlich danken. Wir hoffen, dass dieses großartige - in Deutschland wohl einmalige - Förderprojekt für mathematisch begabte Schüler/innen noch viele Jahre fortbestehen kann.

Dr. Matthias Nicol, Fachbereichsleiter Mathematik